«На Москве-реке» или «на Москва-реке»?..

 Правильна,  форма только первая. Почему?

Попробуем разобраться в этом вопросе, подойдя к нему издали.

Прежде всего, о составных словах вообще. Возьмем официальные названия должностей: «премьер-министр», «генерал-лейтенант», «обер-мастер», «инженер-механик», «шеф-повар» и т. д.

Во всех этих составных словах склоняется только второе слово: «у премьер-министра», «от генерал-лейтенанта», «с обер-мастером», «к инженер-механику», «с шеф-поваром» и т. д. (Однако всё это не непреложно: можно, например, сказать и «инженеру-механику».)

Это — в отношении людей. А как обстоит дело с неодушевленными предметами? Например, с историческими памятниками старины?

Вспоминаю «хрестоматийные» строки полувековой давности:

«Кто царь-колокол поднимет? Кто царь-пушку повернет?»

И здесь склоняется только второе слово. Это естественно,— не скажешь же: «царя-пушку»! Вспоминаю еще строки:

«Отыщу я до зарницы

Перстень красной царь-девицы...»

И здесь, конечно, не скажешь «красного царя-девицы»! Откуда, кстати, эти стихи? Из ершовского «Конька-горбунка». Ага! Мы говорим «Конька-горбунка», а не «Конек-горбунка»: значит, здесь склоняются оба слова!

Попробуем обратиться к вечному кладезю народной мудрости и к чистому роднику русского языка — к нашим народным сказкам. Сразу вспоминаем о «скатерти-самобранке», о «сапогах-скороходах», о «бабе-яге», о «мальчике-с-пальчике». Во всех случаях, как мы видим, склоняются оба слова.

Переберем в памяти множество сказочных образов, состоящих из двух или нескольких слов: кроме «жар-птицы» и «разрыв-травы», мы не найдем примера несклоняемого первого слова.

Вывод: склоняемость обоих слов более свойственна русскому народу, хотя в наименованиях должностных лиц и встречаем обратное. (Вероятно, потому, что все эти слова — «премьер», «генерал», «обер», «инженер», «шеф» — явно иностранные...)